Wednesday, July 26, 2006

Gurukulam | ഗുരുകുലം - ഭാരതീയഗണിതത്തിലെ തെറ്റുകള്‍

“ഗുരുകുല”ത്തിന്റെ ഭാഗമായ “ഭാരതീയഗണിതം” ബ്ലോഗില്‍ ഭാരതത്തിലെ പ്രാചീനാചാര്യന്മാരുടെ പല കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെപ്പറ്റിയും ഞാന്‍ പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ടു്. ഇതില്‍ നിന്നു ഞാന്‍ പ്രാചീനഭാരതത്തിലെ വിജ്ഞാനം ആധുനികശാസ്ത്രത്തിലുള്ള വിജ്ഞാനത്തെക്കാള്‍ മികച്ചതാണു് എന്നൊരു വിശ്വാസം വെച്ചുപുലര്‍ത്തുന്ന ആളാണെന്നുള്ള ഒരു വിശ്വാസം ചില വായനക്കാര്‍ക്കിടയില്‍ പ്രബലമായിട്ടുണ്ടു്. അങ്ങനെയല്ല എന്നു മാത്രമല്ല, ആ വാദത്തെ ശക്തമായി എതിര്‍ക്കുന്ന ആളാണു ഞാന്‍ എന്നു വ്യക്തമാക്കിക്കൊള്ളട്ടേ.

വേദങ്ങളിലും പിന്നീടുണ്ടായ ആര്‍ഷഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ലോകവിജ്ഞാനം മുഴുവനും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നും, പാശ്ചാത്യവും പൗരസ്ത്യവുമായ യാതൊന്നിനും അതില്‍ നിന്നു മുന്നോട്ടു പോകാന്‍ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ലെന്നുമുള്ള ഒരു വിശ്വാസം ഭാരതീയരില്‍ പലര്‍ക്കും ഉണ്ടു്. അസംഖ്യം ഇ-മെയില്‍ സന്ദേശങ്ങളിലൂടെയും വെബ്‌സൈറ്റുകളിലൂടെയും ഇതു ഭാരതീയപൈതൃകത്തെപ്പറ്റി പരിഹാസ്യമായ പ്രസ്താവനകള്‍ നിരത്തിക്കൊണ്ടു പരന്നുകിടക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനമോ തെളിവുകളോ ഇല്ലാത്ത വെറും അവകാശവാദങ്ങള്‍ മാത്രമാണു് അവയില്‍ പലതും. “ഭാരതീയഗണിതം” അത്തരമൊരു സ്ഥലമല്ല.

പാശ്ചാത്യവും പൗരസ്ത്യവുമായ ഒട്ടനവധി കേന്ദ്രങ്ങളില്‍ നിന്നു വിജ്ഞാനമാര്‍ജ്ജിച്ചാണു് ആധുനികഗണിതശാസ്ത്രം വളര്‍ന്നതു്. അതില്‍ ഇന്നുള്ളത്രയും വിജ്ഞാനം ഈ ഒരു കേന്ദ്രത്തിനും ഒറ്റയ്ക്കു് ഇല്ല. ഭാരതത്തിനും അതു ബാധകമാണു്.

ലോകത്തില്‍ വേണ്ടത്ര ശ്രദ്ധ കിട്ടാഞ്ഞ ചില ഭാരതീയസംഭാവനകളെ അവതരിപ്പിക്കാനാണു ഇവിടെ ശ്രമിക്കുന്നതു്. അവയില്‍ത്തന്നെ, പില്‍ക്കാലത്തെ ആരുടെയെങ്കിലും പേരില്‍ കിടക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളാണു് ഇവിടെ അധികം പ്രതിപാദിക്കുന്നതു്.

സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിക്കുക മാത്രമല്ല, അവയുടെ നിഷ്പത്തിയോ (derivation) ഉപപത്തിയോ (proof) കൂടി നല്‍കാനാണു ആധുനികഗണിതശാസ്ത്രം ശ്രമിക്കുന്നതു്. ഇവയിലേതെങ്കിലുമുള്ളവയെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ (theorems) എന്നും ഇല്ലാത്തവയെ അഭ്യൂഹങ്ങള്‍ (conjectures) എന്നും വിളിക്കുന്നു. പല അഭ്യൂഹങ്ങളും പില്‍ക്കാലത്തു സിദ്ധാന്തങ്ങളായിട്ടുണ്ടു്.

പണ്ടുള്ളവര്‍ ഇതിനു പ്രാധാന്യം കൊടുത്തിരുന്നില്ല. ഭാരതീയര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച പല സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും നിഷ്പത്തിയോ ഉപപത്തിയോ അവരുടെ കൈവശമുണ്ടായിരുന്നു എന്നു വാസ്തവമാണു്. പക്ഷേ അവ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിട്ടില്ലാത്തതുകൊണ്ടു അവയെ അഭ്യൂഹങ്ങളില്‍ നിന്നു വേര്‍തിരിച്ചറിയുക വിഷമമാണു്.

ശരിയായ സിദ്ധാന്തങ്ങളോടൊപ്പം തന്നെ തെറ്റായ അനവധി അഭ്യൂഹങ്ങളും ഭാരതീയഗണിതത്തിലുണ്ടു്. അവയില്‍ ചിലതു താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ശുദ്ധഗണിതം മാത്രമേ ഇവിടെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുള്ളൂ. ഭാരതീയജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രത്തില്‍ ഇതില്‍ കൂടുതല്‍ തെറ്റുകളുണ്ടു്.

  1. വൃത്തപരിധിയും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയാണെന്നു് വളരെക്കാലം മുമ്പു തന്നെ അറിവുള്ളതാണെങ്കിലും വീരസേനന്‍ (ക്രി. പി. ഒന്‍പതാം നൂറ്റാണ്ടു്) എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ ധവളടീക എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ അങ്ങനെയല്ല എന്നു പറയുന്നു:

    വ്യാസം ഷോഡശഗുണിതം
    ഷോഡശസഹിതം ത്രിരൂപരൂപഭക്തം
    വ്യാസ ത്രിഗുണിതസഹിതം
    സൂക്ഷ്മാദപി തദ്ഭവേത് സൂക്ഷ്മം

    വ്യാസത്തെ 16 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു 16 കൂട്ടി 113 (ത്രി-രൂപ-രൂപ - ഭൂതസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചു്) കൊണ്ടു ഹരിച്ച ഫലം വ്യാസത്തിന്റെ മൂന്നിരട്ടിയോടു കൂട്ടിയാല്‍ പരിധി സൂക്ഷ്മത്തിലും സൂക്ഷ്മമായി കിട്ടും.

    അതായതു്,

    (355/133) എന്നതു പൈയുടെ ഒരു നല്ല മൂല്യമാണു്. എങ്കിലും അനുപാതം സ്ഥിരസംഖ്യയല്ല എന്ന പ്രസ്താവം ശരിയല്ലല്ലോ.

  2. ആര്യഭടന്‍ (ക്രി. പി. അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം കൊടുത്തതു തെറ്റാണു്.

    സമപരിണാഹസ്യാര്‍ദ്ധം
    വിഷ്കംഭാര്‍ദ്ധഹതമേവ വൃത്തഫലം
    തന്നിജമൂലേന ഹതം
    ഘനഗോളഫലം നിരവശേഷം

    വൃത്തപരിധിയുടെ പകുതിയെ വ്യാസത്തിന്റെ പകുതി കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ക്ഷേത്രഫലം കിട്ടും. അതിനെ അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ (അതേ വ്യാസമുള്ള) ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കിട്ടും.

    വൃത്തഫലം കാണാനുള്ള സൂത്രവാക്യം ശരി തന്നെ.

    പക്ഷേ, ഗോളവ്യാപ്തം കിട്ടാന്‍ അതേ വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്താരത്തെ അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കൊണ്ടു ഗുണിക്കണം എന്നുള്ളതു തെറ്റാണു്. അതായതു്,

    ഇതു് ശരിയായ വ്യാപ്തത്തേക്കാള്‍ 25% കുറവാണു്. ചില ആളുകള്‍ ആര്യഭടന്‍ പൈയുടെ മൂല്യം തെറ്റായി കണക്കാക്കി എന്നു് ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പറയുന്നുണ്ടു്. അതു തെറ്റാണു്. ആര്യഭടനു് പൈയുടെ മൂല്യം നാലു ദശാംശസ്ഥാനത്തു ശരിയായി അറിയാമായിരുന്നു. (ഈ പോസ്റ്റു നോക്കുക.) ഗോളവ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഫോര്‍മുലയാണു് ആര്യഭടനു തെറ്റിയതു്.

    ക്യൂബിനെ സംബന്ധിച്ചു് ഇതു ശരിയാണു്. ക്യൂബിന്റെ വ്യാപ്തം (x3) അതേ വശമുള്ള സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്താരത്തെ (x2) അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം (x) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതാണു്. അതില്‍ നിന്നു് ഈ നിയമം ആര്യഭടന്‍ തെറ്റായി അനുമാനിച്ചതാവണം എന്നു് നീലകണ്ഠന്‍ പ്രസ്താവിക്കുന്നുണ്ടു്.

    ഇതു് ഏഴു നൂറ്റാണ്ടിനുമുമ്പു് ഗ്രീസില്‍ ആര്‍ക്കിമിഡീസ് (ക്രി. മു. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) കൃത്യമായി പറഞ്ഞിട്ടുള്ളതാണു്. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു് ഭാരതത്തില്‍ ഇതു കൃത്യമായി ആദ്യം പറഞ്ഞതു്.

    വൃത്തക്ഷേത്രേ പരിധിഗുണിതവ്യാസപാദം ഫലം; തത്
    ക്ഷുണ്ണം വേദൈരുപരി പരിതഃ കന്ദുകസ്യേവ ജാലം
    ഗോളസ്യൈവം തദപി ച ഫലം പൃഷ്ഠജം; വ്യാസനിഘ്നം
    ഷഡ്‌ഭിര്‍ഭക്തം ഭവതി നിയതം ഗോളഗര്‍ഭേ ഘനാഖ്യം

    വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയെ വ്യാസത്തിന്റെ നാലിലൊന്നു കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ക്ഷേത്രഫലം കിട്ടും. അതിനെ നാലു (വേദം = 4) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ അതേ വ്യാസമുള്ള ഒരു പന്തിന്റെ ചുറ്റുമുള്ള വിസ്താരം കിട്ടും. അതിനെ വ്യാസം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് ആറു കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ വ്യാപ്തം കിട്ടും.

    അതായതു്,

    ഇതു് ഒറ്റയടിക്കു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയും ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്:

    ഘനീകൃതവ്യാസദലം നിജൈക
    വിംശാംശയുഗ്‌ ഗോളഫലം ഘനം സ്യാത്

    വ്യാസത്തിന്റെ ഘനത്തിന്റെ പകുതിയോടു് അതിന്റെ ഇരുപത്തിയൊന്നിലൊന്നു കൂട്ടിയാല്‍ വ്യാപ്തമാകും.

    പൈയുടെ മൂല്യം (22/7) എന്നെടുത്തുള്ള ഫോര്‍മുലയാണു് ഇതെന്നു വ്യക്തം.

  3. സമത്രികോണസ്തൂപത്തിന്റെ (tetrahedron) വ്യാപ്തം ആര്യഭടന്‍ കൊടുത്തിട്ടുള്ളതും തെറ്റാണു്.

    ത്രിഭുജസ്യ ഫലശരീരം
    സമദലകോടീഭുജാര്‍ദ്ധസംവര്‍ഗ്ഗഃ
    ഊര്‍ദ്ധ്വഭുജാതര്‍ത്സവര്‍ഗ്ഗാര്‍ദ്ധ
    സ ഘനഃ ഷഡശ്രിരിതി

    ത്രിഭുജത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം ഒരു വശത്തിന്റെയും അതിന്റെ കോടിയുടെ (altitude) പകുതിയുടെയും ഗുണനഫലമാണു്. അതിനെ ഉയരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ പകുതിയാണു് ആറു വശമുള്ള സമരൂപത്തിന്റെ വ്യാപ്തം.

    ത്രിഭുജത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ശരിയാണു്. (ഇതു വേദകാലത്തു തന്നെ അറിവുള്ളതാണു് - ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളില്‍ ഇതു പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുണ്ടു്) പക്ഷേ ടെട്രാഹീഡ്രന്റെ വ്യാപ്തത്തിന്റേതു തെറ്റാണു്. ത്രിഭുജത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലത്തെ ഉയരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ മൂന്നിലൊന്നാണു വ്യാപ്തം. (ഇതു് എല്ലാ സ്തൂപങ്ങള്‍ക്കും ബാധകമാണു്.)

  4. ഒരു വൃത്തത്തില്‍ അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്യാവുന്ന ത്രികോണം, സമചതുരം തുടങ്ങിയവയുടെ വശത്തിന്റെ നീളം ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

    ത്രിദ്വങ്കാഗ്നിനഭശ്ചന്ദ്രൈ-
    സ്ത്രിബാണാഷ്ടയുഗാഷ്ടഭിഃ
    വേദാഗ്നിബാണഖാശ്വൈവ
    ഖഖാഭ്രാഭ്രരസൈഃ ക്രമാത്

    ബാണേഷുനഖബാണൈശ്ച
    ദ്വിദ്വിനന്ദേഷുസാഗരൈഃ
    കുരാമദശവേദൈശ്ച
    വൃത്തേ വ്യാസസമാഹതേ

    ഖഖഖാഭ്രാര്‍ക്കസംഭക്തേ
    ലഭ്യന്തേ ക്രമശോ ഭുജാഃ
    വൃത്താന്തത്ര്യസ്രപൂര്‍വ്വാണാം
    നവാസ്രാന്തം പൃഥക് പൃഥക്

    വൃത്തവ്യാസത്തെ 103923, 84853, 70534, 60000, 52055, 45922, 41031 എന്നിവ കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് 120000 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ വൃത്തത്തിനുള്ളില്‍ അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന മൂന്നു മുതല്‍ ഒന്‍‌പതു വരെ വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങള്‍ ക്രമത്തില്‍ കിട്ടും.

    ഭൂതസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണു സംഖ്യകള്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു്. ഖം = അഭ്രം = നഭ = ആകാശം = 0, കു = ഭൂമി = 1, ചന്ദ്ര = 1, ദ്വി = 2, ത്രി = 3, അഗ്നി = 3, രാമന്‍ (പരശു, ശ്രീ, ബലഭദ്ര) = 3, യുഗം = 4, വേദം = 4, സാഗരം = കടല്‍ = 4, ബാണം = ഇഷു = അമ്പു് = 5, രസം = 6, അശ്വം = കുതിര = 7, അഷ്ട = 8, നന്ദ = 9, ദസ = 10, നഖം = 20 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നു. വലത്തു നിന്നു് ഇടത്തോട്ടു വായിക്കണം എന്നോര്‍ക്കുക.

    ത്രി-ദ്വി-അങ്ക-അഗ്നി-നഭ-ചന്ദ്ര = 1-0-3-9-2-3
    ത്രി-ബാണ-അഷ്ട-യുഗ-അഷ്ട = 8-4-8-5-3
    വേദ-അഗ്നി-ബാണ-ഖ-അശ്വ = 7-0-5-3-4
    ഖ-ഖ-ഖ-അഭ്ര-അഭ്ര-രസ = 6-0-0-0-0
    ബാണ-ഇഷു-നഖ-ബാണ = 5-20-5-5
    ദ്വി-ദ്വി-നന്ദ-ഇഷു-സാഗര = 4-5-9-2-2
    കു-രാമ-ദശ-വേദ = 4-10-3-1

    ഇതനുസരിച്ചു് വ്യാസം 120000 ആയ വൃത്തത്തില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 എന്നീ വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശത്തിന്റെ നീളങ്ങള്‍ യഥാക്രമം 103923, 84853, 70534, 60000, 52055, 45922, 41031 ആണു്.

    വ്യാസം d ആയ ഒരു വൃത്തത്തില്‍ n വശങ്ങളുള്ള ഒരു സമബഹുഭുജം അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്താല്‍ അതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിച്ചു്

    ആണെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണു്. അതനുസരിച്ചുള്ള മൂല്യങ്ങള്‍ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു.

    വശങ്ങളുടെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം
    എണ്ണം ആധുനികഗണിതം ഭാസ്കരാചാര്യര്‍
    3 103923.0485 103923
    4 84852.8137 84853
    5 70534.2303 70534
    6 60000.0000 60000
    7 52066.0487 52055
    8 45922.0119 45922
    9 41042.4172 41031

    ഇവയില്‍ 7, 9 എന്നിവയൊഴികെയുള്ളവ ശരിയാണു്. (എന്തുകൊണ്ടു് ഇവ രണ്ടും തെറ്റി എന്നതിനെപ്പറ്റി മറ്റൊരു പോസ്റ്റില്‍.) 7, 9 എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങള്‍ക്കു നല്ല വ്യത്യാസമുണ്ടു്.

ഇതു ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം നാലഞ്ചു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു ശേഷമുള്ള കാര്യം. വേദകാലത്തുള്ള വിജ്ഞാനം ഇതിലും ശുഷ്കമാണു്. അന്നുള്ള വിജ്ഞാനത്തില്‍ മികവു കാട്ടിയിരുന്നു എന്നതു സത്യം. എങ്കിലും വേദഗണിതത്തില്‍ (Vedic Mathematics) ആധുനികഗണിതത്തിലുള്ള പല സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും പറ്റി പ്രതിപാദിച്ചിരുന്നു എന്നു പറയുന്നതു പൊള്ളയായ അവകാശവാദമാണു്. ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളിലെ (ഇവയാണു ലോകത്തിലെ ആദ്യത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങള്‍) മഹത്തായ ഗണിതതത്ത്വങ്ങള്‍ - ഇതില്‍ നാം ഇന്നു പിഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തം (Pythagorus theorem) എന്നു വിളിക്കുന്ന തത്ത്വവും ഉള്‍പ്പെടും - ഒഴിച്ചു നിര്‍ത്തിയാല്‍ വേദഗണിതത്തെപ്പറ്റി ഇന്നു പ്രചരിക്കുന്ന പല അവകാശവാദങ്ങളും അബദ്ധപ്പഞ്ചാംഗങ്ങളാണു്. അതിനെപ്പറ്റി വിശദമായ ഒരു ലേഖനം പിന്നീടു്.

Ever try to email a big file, say a 100MB Video or a collection of pictures, only to have it bounce back? That's because most email programs limit file attachments to 5 or 10MB. The easiest solution is TransferBigFiles.com. A free service that lets you transfer files up to 1GB in size to anyone, even multiple recipients.

Try it Now!

posted by സ്വാര്‍ത്ഥന്‍ at 2:52 PM

3 Comments:

Blogger bestusedcarrs said...

Greets to the webmaster of this wonderful site. Keep working. Thank you.
»

7:08 AM  
Blogger steelboy28 said...

I'm impressed with your site, very nice graphics!
»

11:32 AM  
Blogger bdfytoday said...

Keep up the good work. thnx!
»

7:02 PM  

Post a Comment

<< Home