Gurukulam | ഗുരുകുലം - അഞ്ജനമെന്നതു ഞാനറിയും…

അഞ്ജനമെന്നതു ഞാനറിയും…

URL:http://malayalam.usvishakh.net/blog/archives/239	Published: 12/29/2006 11:05 PM
	Author: ഉമേഷ് | Umesh

കുറിഞ്ഞി ഓണ്‍‌ലൈന്‍ എന്ന വിജ്ഞാനപ്രദമായ ബ്ലോഗില്‍ (ഇതു് ഇതുവരെ കണ്ടിട്ടില്ലാത്തവര്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക. നല്ല വൈജ്ഞാനികലേഖനങ്ങള്‍ക്കു ദാരിദ്ര്യമുള്ള-ഷിജു, സി. എസ്., കൂമന്‍സ്, ദേവന്‍ തുടങ്ങിയവരെ മറക്കുന്നില്ല-ബൂലോഗത്തില്‍ ഇതൊരു മുതല്‍ക്കൂട്ടാണു്) ഒരു പ്രാചീനഗ്രീസ് കണ്ടുപിടിത്തത്തെപ്പറ്റി പറയുന്ന പോസ്റ്റില്‍ ലോനപ്പന്‍ എന്ന ദേവദാസ് ഇങ്ങനെയൊരു കമന്റിട്ടു:

ഒരു രഹസ്യം പറയാം ആരോടും പറയരുത്.
കാല്‍കുലസ് [ഇന്റഗ്രേഷന്‍-ഡിഫരന്‍സിയേഷന്‍] എന്നശാഖയ്ക്ക് “മൈല്‍‌സ്റ്റോണ്‍” ഇട്ടത് ന്യൂട്ടന്‍ ആണെന്നാണ് വെയ്പ്പ്. എന്നാല്‍ 3000 വര്‍ഷം മുമ്പ് ചോമാതിരി എന്ന ഭാരതീയന്‍(സൌതിന്ത്യന്‍) “ഏക ദോകോത്തര സങ്കലിതം പദ വര്‍ഗ്ഗാര്‍‌ദ്ധം” എന്ന് മൊഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്
ച്ചാല്‍ “d/dx of x= 1/2 root(X)” എന്ന്
അതൊക്കെ നാല്‍ കളഞ്ഞ് കുളിച്ചു. വല്ലതും ബാക്കിയുണ്ടോന്ന് ജര്‍മ്മന്‍കാരോട് ചോദിക്കണം.

“[മുകളില്‍ എന്തെങ്കിലും തെറ്റുണ്ടില്‍ ക്ഷമിക്കുക, ഓര്‍മ്മയില്‍ നിന്നെടുത്തതാണ്]” എന്നൊരു മുന്‍‌കൂര്‍ ജാമ്യം എടുത്തിട്ടുണ്ടെങ്കിലും പറയാതെ വയ്യ, “അഞ്ജനമെന്നതു ഞാനറിയും, അതു മഞ്ഞളു പോലെ വെളുത്തിരിക്കും” എന്നതിനു് ഇതിനെക്കാള്‍ നല്ല ഒരു ഉദാഹരണം കുറവായിരിക്കും.

ഇതിലെ തെറ്റുകള്‍:

1. 
   എന്നതു തെറ്റാണെന്നു കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ബാലപാഠങ്ങള്‍ അറിയുന്ന ആര്‍ക്കും അറിയാം.
   
   ആണു ശരി. ഒരു പക്ഷേ
   
   എന്നായിരിക്കും ഉദ്ദേശിച്ചതു്.
2. 3000 വര്‍ഷമെന്നൊക്കെ പറയുമ്പോള്‍… അതൊരു വലിയ കാലയളവാണല്ലോ. ക്രിസ്തുവിനു മുമ്പു് പത്താം നൂറ്റാണ്ടു്. ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളും മറ്റും ഉണ്ടായിവരുന്നതേ ഉള്ളൂ. ഈ ചോമാതിരിമാരൊക്കെ അന്നുണ്ടോ എന്തോ? എന്തായാലും, കാല്‍ക്കുലസ് ഇല്ല എന്നതു തീര്‍ച്ച. അല്പം കുറച്ചു് 300 എന്നോ മറ്റോ ആക്കാമോ?

   ചോമാതിരി (സോമയാജി) എന്നതു് ഒരു ജാതിപ്പേരാണു് (സോമയാഗം ചെയ്ത നമ്പൂതിരി). ഒരാളുടെ പേരല്ല.

3. ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ പ്രശസ്തരായ രണ്ടു ചോമാതിരി(സോമയാജി)മാരുണ്ടു്. നീലകണ്ഠസോമയാജിയും(ക്രി. പി. പതിനഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടു്) പുതുമന സോമയാജിയും (ക്രി. പി. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടു്). ധാരാളം കണ്ടുപിടിത്തങ്ങള്‍ ഇവരുടേതായുണ്ടു്. രണ്ടുപേരും ന്യൂട്ടനു മുമ്പുള്ളവര്‍ തന്നെ. പക്ഷേ, ലോനപ്പന്‍ പറയുന്ന അത്രം മുമ്പല്ല.
4. ഉദ്ധരിച്ച സംസ്കൃതശ്ലോകഭാഗം കാല്‍ക്കുലസ് അല്ല പറയുന്നതു്. “സങ്കലിതം” ആണു്. 1, 2, 3, … എന്നിങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകകളും അവയുടെ തുകകളും അവയുടെ തുകകളും ഒക്കെയാണു് സങ്കലിതം എന്നതുകൊണ്ടു് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു്.

കുരുടന്മാര്‍ ആനയെ വര്‍ണ്ണിക്കുന്നതുപോലെ ഇങ്ങനെ ഭാരതീയജ്ഞാനത്തെപ്പറ്റിയുള്ള അബദ്ധങ്ങള്‍ എഴുന്നള്ളിക്കുന്നവരാണു് നമ്മളെ പലപ്പോഴും മറ്റുള്ളവരുടെ മുന്നില്‍ അപഹാസ്യരാക്കുന്നതു്. ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ പരമാബദ്ധങ്ങളായ ഇത്തരം കാര്യങ്ങള്‍ ചെയിന്‍ ഇ-മെയിലുകളായും വെബ്‌പേജുകളായും ബ്ലോഗ്‌പോസ്റ്റുകളായും കമന്റുകളായും ഇന്റര്‍നെറ്റില്‍ പരന്നു കിടക്കുന്നു. ഇവ മൂലം ഭാരതീയഗണിതത്തെപ്പറ്റി ആധികാരികമായി പരയുന്നതു പോലും കേള്‍ക്കാന്‍ ആരും തയ്യാറാകുന്നില്ല. നാം തന്നെ നമ്മുടെ ശവക്കുഴി തോണ്ടണോ?

---

ഈ ഉദ്ധരണി ഞാന്‍ മുമ്പു കണ്ടിട്ടില്ല. ഒരു പക്ഷേ ഇങ്ങനെയായിരിക്കാം:

ഏകാദ്യേകോത്തര സങ്കലിതം പദ വര്‍ഗ്ഗാര്‍‌ദ്ധം
ഏക-ആദി-ഏക-ഉത്തര-സങ്കലിതം പദ-വര്‍ഗ്ഗ-അര്‍ദ്ധം.

“ഒന്നു മുതല്‍ ഒന്നു വീതം കൂട്ടിയ സംഖ്യകളെ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാല്‍ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന്റെ പകുതിയാകും” എന്നര്‍ത്ഥം. അതായതു്,

എന്നര്‍ത്ഥം. ഇതു പൂര്‍ണ്ണമായി ശരിയല്ല.

എന്നതാണു ശരിയായ സൂത്രവാക്യം. ഇതു് ഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്‍ക്കു നേരത്തേ അറിയാമായിരുന്നു. ആര്യഭടന്‍ ഇതു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഇതിനെപ്പറ്റി ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു താഴെ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്.

n-ന്റെ മൂല്യം വളരെ വലുതാകുമ്പോള്‍ n(n+1)-നു പകരം n² ഉപയോഗിക്കാം എന്നു നീലകണ്ഠസോമയാജി യുക്തിദീപികയില്‍ (ഇതു നീലകണ്ഠന്റേതാണെന്നും അല്ല അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഒരു ശിഷ്യന്റേതാണെന്നും വാദങ്ങളുണ്ടു്. നീലകണ്ഠന്റെ തന്നെ “തന്ത്രസംഗ്രഹം” എന്ന വിശിഷ്ടകൃതിയുടെ വ്യാഖ്യാനമാണു യുക്തിദീപിക.) പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്.

സൈകവ്യാസാര്‍ദ്ധഗുണിതം വ്യാസാര്‍ദ്ധം യത് തതോ ദലം
ഏകാദ്യേകോത്തരമിതഭുജാസങ്കലിതം ഭവേത്

അണുത്വാര്‍ത്ഥം ഭുജാഭാഗേ ത്വണുഛേദാഹതേസതി
അത്ര രൂപം ത്വണുമിതം കല്പ്യം യസ്മാത്തതോऽണുയുക്

യദ്‌വ്യാസദലമന്യച്ച കേവലം യത് തയോര്‍ഹതിഃ
യാസ്യാത് തദ്ദലമുക്തസ്യ മാനം സങ്കലിതസ്യ തു

ഒരു ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള

എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഉപപത്തിയിലാണു് ഇതുള്ളതു്. ഗോളത്തെ അസംഖ്യം ചെറിയ വൃത്തങ്ങളാക്കി അവയുടെ ക്ഷേത്രഫലങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാണു് വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്. അര്‍ത്ഥം അല്പം സരളമാക്കി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

1. വ്യാസാര്‍ദ്ധത്തോടു് ഒന്നു കൂട്ടി അതിനെ വ്യാസാര്‍ദ്ധം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു പകുതി കണ്ടാല്‍ ഒന്നു മുതല്‍ ഒന്നു കൂട്ടി വരുന്ന ഭുജകളുടെ സങ്കലിതം ലഭിക്കും.

   അതായതു്,

   

2. ഇതിലെ ഓരോ ഭുജയെയും വീണ്ടും പല ഭാഗമാക്കിയാല്‍ ഓരോ ഭുജയും വളരെ ചെറുതാകുകയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണം വളരെ വലുതാവുകയും ചെയ്യും. പദങ്ങളുടെ എണ്ണം വലുതാകുമ്പോള്‍ n എന്നതും (n+1) എന്നതും ഏകദേശം തുല്യമാണെന്നു പരിഗണിക്കാം.
3. അങ്ങനെ നോക്കിയാല്‍

   

   എന്നു് ഇവിടെ നമുക്കു് അനുമാനിക്കാം.

അതിനു ശേഷം ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചു് ഗോളവ്യാപ്തത്തിലേക്കു പോകുന്നു.

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാല്‍, ഇതു് ആധുനികഗണിതത്തിലെ രീതി തന്നെയാണെന്നു മനസ്സിലാകും. സാമാന്യമായ മൂല്യം എഴുതുക, അതിനു് ഒരു പ്രത്യേകസാഹചര്യത്തിലെ approximation ഉപയോഗിക്കുക, സീമാസിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചു് infinite series-നു നല്ല approximation ഉണ്ടാക്കുക തുടങ്ങി. ഇവയൊക്കെ കാല്‍ക്കുലസിന്റെ അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങള്‍ തന്നെ. എന്നാല്‍ കാല്‍ക്കുലസ് ന്യൂട്ടനു മുമ്പു കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു പറയാനും പറ്റില്ല. നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ കൊണ്ടു ഗണിതജ്ഞര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച സീമാസിദ്ധാന്തത്തെയും, ചെറിയ ഭാഗങ്ങളാക്കി വിഭജിച്ചു് ഓരോ ഭാഗത്തിന്റെയും വിലയുടെ approximate value കണ്ടുപിടിച്ചു് അവ കൂട്ടി തുക കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതിയെയും മറ്റും യോജിപ്പിച്ചു് അവകലനത്തിന്റെയും (differentiation) സമാകലനത്തിന്റെയും (integration) സമഗ്രവും സാമാന്യവുമായ നിയമങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കി എന്നതുകൊണ്ടാണു് കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ഉപജ്ഞാതാക്കളായി ന്യൂട്ടനെയും ലൈബ്‌നിറ്റ്സിനെയും കരുതുന്നതു്. ഒരു സുപ്രഭാതത്തില്‍ ഇവര്‍ ഈ തിയറിയൊക്കെ ഉണ്ടാക്കി എന്നല്ല.

കാല്‍ക്കുലസ് ഇന്ത്യയിലുണ്ടായി എന്ന വാദത്തെ ഇതിന്റെ വെളിച്ചത്തില്‍ വേണം കാണാന്‍. ഗോളവ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള കൃത്യമായ സൂത്രവാക്യം ആദ്യമായി കാണ്ടുപിടിച്ചതു ഭാരതീയരല്ല, ആര്‍ക്കിമിഡീസ് (ക്രി. മു. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു് എന്നും ഓര്‍ക്കുക.

---

“സങ്കലിതം” എന്നതു ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ഒരു പ്രിയപ്പെട്ട ആശയമായിരുന്നു. സങ്കലിതവും സങ്കലിതത്തിന്റെ സങ്കലിതവും അതിന്റെ സങ്കലിതവുമൊക്കെ കണ്ടുപിടിച്ചു് അവര്‍ മുന്നോട്ടു പോയി. ഒരു ലീലാവതീവ്യാഖ്യാനത്തില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

പദേ സൈകപദാഭ്യസ്തേ യദ്വൈകദ്വിവധോദ്ധ്യതേ
ഏകാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ഭവേത് സങ്കലിതം തതഃ

ഗച്ഛാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ത്രയാണാം തു സമാഹതിഃ
ഏകോത്തരാദിത്രിവധഭക്താ സങ്കലിതായുതിഃ

ഗച്ഛാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ചതുര്‍‌ണാം തു സമാഹതേഃ
ഏകാദ്യേകോത്തരചതുര്‍ഘാതാപ്താ തദ്‌യുതേര്‍‌യുതിഃ

സമയക്കുറവു മൂലം പദാനുപദതര്‍ജ്ജമ എഴുതുന്നില്ല. അര്‍ത്ഥം ഗണിതരീതിയില്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു (നൊട്ടേഷന്‍ എന്റേതു്):

ഇത്യാദി.

---

ആദ്യത്തെ n എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെയും അവയുടെ വര്‍ഗ്ഗം, ഘനം തുടങ്ങിയവയുടെയും തുക കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ ആര്യഭടനു മുമ്പേ ഭാരതീയര്‍ക്കു് അറിയാമായിരുന്നു. ദോധകവൃത്തത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ എഴുതിയ മനോഹരശ്ലോകങ്ങാല്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

സൈകപദഘ്നപദാര്‍ദ്ധമഥൈകാദ്യങ്കയുതിഃ കില സങ്കലിതാഖ്യാ

സ-ഏക-പദ-ഘ്ന-പദ-അര്‍ദ്ധം ഏക-ആദി-അങ്ക-യുതിഃ കില സങ്കലിത-ആഖ്യാ

സാ ദ്വിയുതേന പദേന വിനിഘ്നീ സാ ത്രിഹൃതാ ഖലു സങ്കലിതൈക്യം

ദ്വിഘ്നപദം കുയുതം ത്രിവിഭക്തം സങ്കലിതേന ഹതം കൃതിയോഗഃ

സങ്കലിതസ്യ കൃതേഃ സമമേകാദ്യങ്കഘനൈക്യമുദീരിതമാദ്യൈഃ

സങ്കലിതസ്യ കൃതേഃ സമം ഏക-ആദി-അങ്ക-ഘന-ഐക്യം ഉദീരിതം-ആദ്യൈഃ

---

ഇതിന്റെ സാമാന്യരൂപമായ

എന്നതിന്റെ മൂല്യം (എന്നതു് ഏതെങ്കിലും എണ്ണല്‍‌സംഖ്യ) കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഭാരതെയഗണിതജ്ഞര്‍ക്കു കഴിഞ്ഞില്ല. ആധുനികഗണിതത്തില്‍ത്തന്നെ ഇതൊരു കീറാമുട്ടിയായിരുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട ബെര്‍‌ണോളി സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണു് ഇന്നും ഇതു ചെയ്യുന്നതു്. (ഇതും വേദങ്ങളില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നു് ആരെങ്കിലും താമസിയാതെ പറഞ്ഞേക്കും!). അതനുസരിച്ചു്,

എന്നതാണു് അതിന്റെ മൂല്യം. ഇവിടെ B_r എന്നതു ബെര്‍ണോളി സംഖ്യകളും _nC_r എന്നതു binomial coefficients-ഉം ആണു്.

ഇതും സരളമായ ഒറ്റ സൂത്രവാക്യമല്ല, മറ്റൊരു ശ്രേഢിയാണു്. പക്ഷേ രണ്ടാമത്തേതു കണക്കുകൂട്ടാന്‍ കൂടുതല്‍ എളുപ്പമാണു്, അത്രമാത്രം.

Buzz It!	Feed Home	Article
Good Article? Buzz It!	Publisher's Site	To View / Comment

Squeet Directory is Now Live

Squeet Tip

Squeet Advertising Info

A great RSS feed can help you live, work, or play better. If it's been a while since you've found a feed like this, head over to the Squeet Reader Directory where you'll find 80+ quality feeds in many categories. Quickly and easily subscribe to multiple groups or catgories all at once.

Try the Squeet Reader Feed Directory Now
Read the Squeet Blog Article