Gurukulam | ഗുരുകുലം - പൂജ്യവും അനന്തവും ഭാരതീയപൈതൃകവും

പൂജ്യവും അനന്തവും ഭാരതീയപൈതൃകവും

URL:http://malayalam.usvishakh.net/blog/archives/214	Published: 9/27/2006 8:15 PM
	Author: ഉമേഷ് | Umesh

ഡാലിയുടെ അദ്വൈതവും പദാര്‍ത്ഥത്തിന്റെ ദ്വന്ദ്വ സ്വഭാവവും - 2 എന്ന പോസ്റ്റിലെയും അതിന്റെ ചില കമന്റുകളിലെയും പരാമര്‍ശങ്ങളാണു് ഇതെഴുതാന്‍ എന്നെ പ്രേരിപ്പിച്ചതു്.

---

ഡാലി എഴുതുന്നു:

ഗണിതത്തിലും ഉണ്ടല്ലോ നിര്‍വചിക്കാന്‍ പറ്റാത്ത ഒന്ന്: ഇന്‍ഫിനിറ്റി. 0/10 =0 എന്ന് പഠിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണ്. പ്രൈമറി സ്കൂള്‍ മാഷ് പറഞ്ഞ് കൊടുക്കും, ഒരു കേക്ക് 10 കഷ്ണങ്ങള്‍ ആക്കിയതില്‍ എനിക്കു കിട്ടിയത് പൂജ്യം കഷ്ണം (അതായത് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല) അതുകൊണ്ട് 0/10=0. എന്നാല്‍ 10/0 എന്നത് എങ്ങനെ പറഞ്ഞ് മനസ്സിലാക്കി കൊടുക്കും? ഒന്നുമില്ലായ്മയില്‍ നിന്നു 10 എടുത്താല്‍ എത്ര? പറഞ്ഞു കൊടുക്കാന്‍ ഇത്തിരി പാടാണ്.

ഒരു പാടുമില്ല ഡാലീ. ഇന്‍‌ഫിനിറ്റി എന്നതു് ഒരു ലിമിറ്റാണു്. ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാള്‍ വലുതും, ഏറ്റവും ചെറിയ (നെഗറ്റീവ്) സംഖ്യയെക്കാള്‍ ചെറുതുമായ രണ്ടു ലിമിറ്റുകളെയാണു് ഇന്‍ഫിനിറ്റി (പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവും) എന്നു വിളിക്കുന്നതു്. ഒരു വലിയ (ചെറിയ) സംഖ്യ എന്നു തന്നെ കരുതാം.

10/0 എന്നതു് “ഒന്നുമില്ലായ്മയില്‍ നിന്നു 10 എടുത്താല്‍” എന്നെങ്ങനെ അര്‍ത്ഥം വരും? നമുക്കു് ഹരണത്തിന്റെ നിര്‍വ്വചനം നോക്കാം.

• 20/4 എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ 4 എന്നതു് എത്ര പ്രാവശ്യം കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 20 ആകും എന്നാണര്‍ത്ഥം. അഞ്ചു തവണ എന്നര്‍ത്ഥം.
• 10/4 എന്നു പറഞ്ഞാലും അതേ അര്‍ത്ഥം തന്നെ. രണ്ടു തവണയും പിന്നെ അരത്തവണയും (2 x 4 + 0.5 x 4 = 10) വയ്ക്കണം. അതായതു്, 10/4 = 2.5.
• ഇനി, 10/0 എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഒന്നുമില്ലായ്മ (0) എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 10 കിട്ടും എന്നാണു്. എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലും പൂജ്യത്തില്‍ കൂ‍ടില്ല. അപ്പോള്‍ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാളും വലിയ ഒരു സംഖ്യ തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലേ ആകൂ എന്നു വരുന്നു. ഇതാണു് ഇന്‍‌ഫിനിറ്റി.
  മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, 0 എന്നതിനു പകരം പൂജ്യത്തോടു് അല്പം മാത്രം കൂടുതലായ ഒരു സംഖ്യ സങ്കല്പിക്കുക. 0.00000….00001 എന്നിരിക്കട്ടേ. അതു് എത്ര കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 10 ആകും? വളരെ വലിയ ഒരു എണ്ണം. ഈ സംഖ്യ പൂജ്യത്തോടു് അടുക്കുന്തോറും ഈ എണ്ണം കൂടിവരും. അപ്പോള്‍ അതു പൂജ്യമാകുമ്പോള്‍ ഉള്ള എണ്ണമാണു് ഇന്‍ഫിനിറ്റി. (ഇനി മുതല്‍ “അനന്തം” എന്നു വിളിക്കുന്നു.)

ഷിജു എഴുതുന്നു:

A number divided by zero ഇന്‍ഫിനിറ്റി ആണോ, undefined അല്ലേ.

ഡാലി അതിനെ ശരിവെയ്ക്കുന്നു:

ശരിയാണ് 10/0 undefined തന്നെ.
10/.0000000000000001( പൂജ്യത്തിന്റെ തൊട്ടടുത്ത് നില്‍ക്കുന്ന സംഖ്യ അല്ലെങ്കില്‍ അപ്രോക്സിമേറ്റ്ലി ഇക്വല്‍ റ്റു സീറൊ) = ഇന്‍ഫിനിറ്റി.

ഇത് ചെറിയ ക്ലാസ്സില്‍ പറഞ്ഞ് കൊടുക്കാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടായത് കൊണ്ടാണ് 10/0= ഇന്‍ഫിനിനിറ്റി എന്നാണ് ആദ്യം പഠിപ്പിച്ചീട്ടുണ്ടാകുക

രണ്ടു പേരും പറയുന്നതു തെറ്റാണു്. undefined, indeterminate എന്നൊക്കെ പറയുന്നതു് എവിടെയെന്നു തിട്ടപ്പെടുത്താന്‍ പറയാത്ത ഒരു സംഖ്യയെപ്പറ്റിയാണു്. ഉദാഹരണങ്ങള്‍:

• : 1 x 0 = 1000 x 0 = 12345678 x 0 = -15 x 0 = -98651 x 0 = 0 ആയതുകൊണ്ടു് 0/0 എന്നതു് 1, 1000, 12345678, -15, -98651 തുടങ്ങി മുതല്‍ വരെ ഏതു വില വേണമെങ്കിലും ആവാം. ഇങ്ങനെ സംഖ്യാരേഖയില്‍ എവിടെയെന്നു് ഒരു തിട്ടവുമില്ലാത്ത മൂല്യമാണു് അമേയം (indeterminate).
• : എന്നിങ്ങനെ ആയതു കൊണ്ടു് എന്നതിനു 1, 100, 1234567, എന്നിങ്ങനെ ഏതു ധനമൂല്യവുമെടുക്കാമല്ലോ. അതിനാല്‍ അമേയം.
• : 1 എത്ര തവണ അതിനോടു തന്നെ ഗുണിച്ചാലും 1 തന്നെ കിട്ടുമല്ലോ. ഒന്നൊഴികെയുള്ള ഏതു ധനസംഖ്യയെയും വളരെത്തവണ ഗുണിച്ചാല്‍ അതു് ഒന്നില്‍ക്കൂടുതലാണെങ്കില്‍ അനന്തവും കുറവാണെങ്കില്‍ പൂജ്യവും കിട്ടും. . അപ്പോള്‍ എന്നതു് പൂജ്യത്തിനും അനന്തത്തിനും ഇടയ്ക്കുള്ള ഏതു മൂല്യവുമാകാമെന്നു വരുന്നു. അതായതു് അമേയം.

അനന്തം അമേയമല്ല. അതെവിടെയെന്നു നമുക്കറിയാം. സംഖ്യാരേഖയില്‍ ഏറ്റവും വലത്തു്, ഏറ്റവും ഇടത്തു്.

---

വിക്കിപീഡിയയിലും ഈ തെറ്റുണ്ടു്. ഉദാഹരണത്തിനു് ഈ ലേഖനം. ശുദ്ധഗണിതത്തില്‍ a/0 undefined അല്ല (a പൂജ്യമല്ലെങ്കില്‍). കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാമിംഗില്‍ ആയിരിക്കാം.

കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാമിംഗില്‍ത്തന്നെ, ഗണിതവും ശാസ്ത്രവും കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന സോഫ്റ്റ്വെയറുകള്‍ അനന്തത്തെയും അമേയത്തെയും രണ്ടായിത്തന്നെ കാണുന്നുണ്ടു്. കണക്കുകൂട്ടാന്‍ പറ്റാത്ത മൂല്യങ്ങളെ കുറിക്കാന്‍ പല രീതികളും (NaN, Inf തുടങ്ങി) ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്.

വിക്കിപീഡിയയില്‍ ഇന്നു കണ്ടതു പലതും പിശകുകളായിരുന്നു. ഒരെണ്ണം ഇതു്. മറ്റൊന്നു താഴെ.

---

ഡാലി പറയുന്നു:

കൌതുകം എന്താണെന്നു വച്ചാല്‍ ഇന്‍ഫിനിറ്റിയെ കുറിച്ചുള്ള ആദ്യ ലേഖനങ്ങളില്‍ ഒന്ന് യജുര്‍ വേദമണെന്ന് വിക്കി പറയുന്നു

ഉദ്ധൃതമായ വിക്കിപീഡിയ ലേഖനം ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

Along with the early conceptions of infinite space proposed by the Taoist philosophers in ancient China, one of the earliest known documented knowledge of infinity was also presented in ancient India in the Yajur Veda (c. 1200–900 BC) which states that “if you remove a part from infinity or add a part to infinity, still what remains is infinity”.

ഇവിടെ ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതു് (പാപ്പാന്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയതുപോലെ)

പൂര്‍ണ്ണമദഃ പൂര്‍ണ്ണമിദം
പൂര്‍ണ്ണാത് പൂര്‍ണ്ണമുദച്യതേ
പൂര്‍ണ്ണസ്യ പൂര്‍ണ്ണമാദായ
പൂര്‍ണ്ണമേവാവശിഷ്യതേ

(അതു പൂര്‍ണ്ണം, ഇതു പൂര്‍ണ്ണം, പൂര്‍ണ്ണതില്‍ നിന്നു പൂര്‍ണ്ണം പൊന്തിവന്നു. പൂര്‍ണ്ണത്തില്‍ നിന്നു പൂര്‍ണ്ണമെടുത്തപ്പോള്‍ പൂര്‍ണ്ണം അവശേഷിച്ചു.)

ആണെന്നു തോന്നുന്നു. (ഇതു് ഈശാവാസ്യോപനിഷത്തിലേതാണെന്നാണു് എന്റെ അറിവു്.) ഇതു ശരിയാണെങ്കില്‍ ഇതു മറ്റൊരു ഭാരതീയപൈതൃകവ്യാജാവകാശവാദം മാത്രമാണു്. Complete എന്ന അര്‍ത്ഥത്തിലാണു് ഇവിടെ പൂര്‍ണ്ണം എന്നുപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഇതെങ്ങനെ ഗണിതത്തിലെ അനന്തം ആകും? അതില്‍ നിന്നു അതു തന്നെ കുറച്ചാല്‍ അതു തന്നെ കിട്ടും എന്നതു പൂജ്യത്തിനും ബാധകമാണല്ലോ. ഇതു് അനന്തത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ രണ്ടു വരി എങ്ങനെ വിശദീകരിക്കും?

---

ഏതെങ്കിലും മത/സംസ്കാരഗ്രന്ഥത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും തത്ത്വത്തിനു് ഏതെങ്കിലും ആധുനികശാസ്ത്രതത്ത്വവുമായി വിദൂരസാദൃശ്യമുണ്ടെങ്കില്‍ ആ വിജ്ഞാനം പണ്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്ന അവകാശവാദമുന്നയിക്കുന്നതു് പല സംസ്കാരങ്ങളെയും ഉയര്‍ത്തിപ്പിടിക്കുന്നവരുടെ സ്വഭാവമാണു്. ആര്‍ഷസംസ്കാരത്തിന്റെയും ഭാരതീയപൈതൃകത്തിന്റെയും ആധുനികവക്താക്കള്‍ ഇതിന്റെ സകലസീമകളെയും ലംഘിക്കുന്നു. മഹാവിഷ്ണുവിന്റെ ദശാവതാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ പുരാണങ്ങളില്‍ പരിണാമസിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടു് എന്നു പറയുന്നതു് ഒരുദാഹരണം. സൃഷ്ടികര്‍മ്മത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നിടത്തു് ഇതു പറഞ്ഞിട്ടില്ലല്ലോ. ഈ അനന്തപരാമര്‍ശവും അങ്ങനെ തന്നെ. പൂജ്യം (ശൂന്യം) എന്നതു് ആധുനികഗണിതത്തിന്റെ അര്‍ത്ഥത്തില്‍ അറിവില്ലാതിരുന്ന കാലത്താണു് വേദങ്ങള്‍ എഴുതിയതെന്നു് ആലോചിക്കണം. പിന്നെയെങ്ങനെ അനന്തത്തെപ്പറ്റി പറയാന്‍?

---

അനന്തസംഖ്യയെപ്പറ്റി ആദ്യം സൂചിപ്പിച്ചതു ബ്രഹ്മഗുപ്തനാണു്. (ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു്) അദ്ദേഹം അതിനെ “ഖച്ഛേദം” (പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചതു് എന്നര്‍ത്ഥം) വിളിച്ചു. അതേ അര്‍ത്ഥം തന്നെ വരുന്ന “ഖഹരം” എന്ന പേരാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (പതിനൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഉപയോഗിച്ചതു്. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ പറയുന്നതു നോക്കൂ:

യോഗേ ഖം ക്ഷേപസമം,
വര്‍ഗ്ഗാദൌ ഖം, ഖഭാജിതോ രാശിഃ
ഖഹരഃ, സ്യാത് ഖഗുണഃ
ഖം, ഖഗുണശ്ചിന്ത്യശ്ച ശേഷവിധൌ

പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയോടു കൂട്ടിയാല്‍ ആ സംഖ്യ തന്നെ കിട്ടും. പൂജ്യത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം, ഘനം തുടങ്ങിയവയും പൂജ്യം തന്നെ. ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഖഹരം കിട്ടും. പൂജ്യം കൊണ്ടു ഏതു സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചാലും പൂജ്യം തന്നെ ഫലം.

പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം വ്യക്തമായി നിര്‍വ്വചിച്ചിരിക്കുകയാണു് ഇവിടെ. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ പറഞ്ഞതും ഇതു തന്നെ.

ശൂന്യേ ഗുണകേ ജാതേ
ഖം ഹാരശ്ചേത് പുനസ്തദാ രാശിഃ
അവികൃത ഏവ ജ്ഞേയ-
സ്തഥൈവ ഖേനോനിതശ്ച യുതഃ

ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഗുണിക്കുകയും പിന്നീടു പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടി വന്നാല്‍ അതേ സംഖ്യ തന്നെ കിട്ടും. അതിനാല്‍ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനവും ഹരണവുമുള്ള ഗണിതക്രിയകളില്‍ ഇപ്രകാരമുള്ള ഗുണനഹരണങ്ങള്‍ സംഖ്യയെ മാറ്റുന്നില്ല എന്നു മനസ്സിലാക്കി അവസാനത്തെ ക്രിയയില്‍ മാത്രമേ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനമോ ഹരണമോ ചെയ്യാവൂ.

ഇതിനു പല വിമര്‍ശനങ്ങളും നേരിടേണ്ടി വന്നിട്ടുണ്ടു്. 0/0 = 1 എന്നാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു് എന്നാണു് പ്രധാനവിമര്‍ശനം. അങ്ങനെയല്ല എന്നു് ഈ ശ്ലോകം ശ്രദ്ധിച്ചു വായിച്ചാല്‍ മനസ്സിലാകും. അദ്ദേഹം ഉദ്ദേശിച്ചതു്

എന്നാണെന്നു മനസ്സിലാകും. കാല്‍ക്കുലസിലെ ഒരു പ്രധാനതത്ത്വം.

അനന്തത്തെപ്പറ്റി ആലങ്കാരികമായും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍.

അസ്മിന്‍ വികാരഃ ഖഹരേ ന രാശാ-
വപി പ്രവിഷ്ടേഷ്വപി നിഃസൃതേഷു
ബഹുഷ്വപി സ്യാല്ലയസൃഷ്ടികാലേऽ-
നന്തേऽച്യുതേ ഭൂതഗണേഷു യദ്വത്

ഏതു സംഖ്യ കൂട്ടിയാലും കുറച്ചാലും ഖഹരത്തിനു വ്യത്യാസം വരുന്നില്ല. ജീവജാലങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവുകയും നശിക്കുകയും ചെയ്താലും അനന്തനായാ അച്യുതനു വ്യത്യാസമുണ്ടാകാത്തതു പോലെ.

---

ഡാലിയുടെ ആദ്യത്തെ ലേഖനത്തില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് അദ്വൈതത്തില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നല്ല പറയുന്നതു്, മറിച്ചു രണ്ടിനും സാദൃശ്യമുള്ള തത്ത്വങ്ങളുണ്ടു് എന്നു പറയുകയാണു ചെയ്യുന്നതു് എന്നു ഡാലി തന്നെ പറയുന്നു. ഇതിനു കുഴപ്പമൊന്നുമില്ല. കടലും കടലാടിയും പോലെയുള്ള വസ്തുതകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതു ഗവേഷകരുടെ ഇഷ്ടവിനോദമാണു്. “കാല്പനികത മാര്‍കേസിലും മുട്ടത്തുവര്‍ക്കിയിലും”, “കേരളത്തിലെ ഒടിവിദ്യയും ആസ്ട്രേലിയയിലെ ബൂമറാംഗും”, “ചോംസ്കിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ കൊടുങ്ങല്ലൂര്‍ ഭരണിപ്പാട്ടിന്റെ ഘടനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍” തുടങ്ങി ധാരാളം പി. എഛ്. ഡി. പ്രബന്ധങ്ങള്‍ ഓരോ കൊല്ലവും ഉണ്ടാകുന്നുണ്ടു്. ഇതൊക്കെ വൈജ്ഞാനികശാഖകള്‍‍ക്കു മുതല്‍ക്കൂട്ടു തന്നെ.

പക്ഷേ, ഈ താരതമ്യപ്പെടുത്തലിനപ്പുറം കമന്റെഴുതിയ പലരും ചെയ്തപോലെ അദ്വൈതത്തില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നെന്നും, അല്ല ശങ്കരാചാര്യര്‍ തെറ്റാണെന്നു തെളിയിച്ച കാലഹരണപ്പെട്ട ഒരു തിയറിയില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് പൂര്‍ണ്ണമായി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നും പറയുമ്പോഴാണു വാദം ബാലിശമാകുന്നതു്.

---

ലേഖനത്തില്‍ പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു കാര്യത്തെപ്പറ്റിക്കൂടി: പുതിയ നിയമം (ഞാന്‍ പുസ്തകത്തെപ്പറ്റിയാണു പറയുന്നതു്; ക്രിസ്തുവിനെപ്പറ്റിയോ ക്രിസ്തുമതത്തെപ്പറ്റിയോ അല്ല.) ഇത്രയും പോപ്പുലര്‍ ആയതു് അതിലെ വിപ്ലവകരമായ ആശയങ്ങളുടെ മഹത്ത്വം കൊണ്ടല്ല, ക്രിസ്തുമതം പ്രചരിപ്പിക്കാന്‍ അശ്രാന്തപരിശ്രമം ചെയ്ത ഒരു പറ്റം ആളുകളുടെ കഴിവു കൊണ്ടാണു്. എന്റെ ഒരു അഭിപ്രായം മാത്രം.

Buzz It!	Feed Home	Article
Good Article? Buzz It!	Publisher's Site	To View / Comment

Free Project Managment Software!

Squeet Sponsor

Squeet Advertising Info

Track bugs, feature requests and team-member tasks using OnTime 2006. OnTime helps thousands of software development teams manage and enforce their development processes. Whether you do ad-hoc, agile, MSF, scrum or extreme development, OnTime can help you ship software on-time! Available in 3 flavors: Windows, Web or VS.NET 2003/2005 Integrated App. Winner of the 2006 ASP.NET Pro Readers Choice Award. Free single user installations!

Download a Free Single-User Version Now!
($200 Value - Never Expires!)